– اگر R رابطه‌ای روی A باشد، وارون R به ‌صورت و متمم R به ‌صورت نمایش داده می‌شود.
– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A بازتابی است یعنی:
– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A تقارنی است یعنی:
– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A ترایایی است یعنی:

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A هم‌ارزی است یعنی، بازتابی، تقارنی و ترایایی است.
– اگر R رابطه‌ی هم‌ارزی روی مجموعه A باشد، به کلاس هم‌ارزی a یا کلاس هم‌ارزی R تولید شده توسط a گوییم.
– فرض کنید U یک مجموعه‌ی مرجع ناتهی باشد. مجموعه‌ی توانی U را با P(U) نمایش می‌دهیم.
– برای هر ، متمم مجموعه‌ی X را با XC نشان می‌دهیم، که به‌صورت UX تعریف می‌شود.
1-2-2- تعریف [1]
زوج که در آن و یک رابطه‌ی هم‌ارزی روی U است، یک فضای تقریب نامیده می‌شود.
1-2-3- تعریف [1]
فرض کنید یک فضای تقریب دلخواه باشد، برای تعریف تقریب ناهموار، نگاشت را تعریف می‌کنیم، با ضابطه‌‌ی:
می باشد که به‌ طوریکه و را تقریب ناهموار پایینی از X در می‌نامیم و را تقریب ناهموار بالایی از X در می‌نامیم.
1-2-4- تعریف [1]
برای هر فضای تقریب ، مجموعه‌ی ناهموار نامیده می‌شود اگر و تنها اگر برای بعضی از ، .
1-2-5- مثال
فرض کنید یک فضای تقریب باشد، به‌طوریکه:
و رابطه‌ی هم‌ارزی با کلاس‌های هم‌ارزی زیر داده
شده باشد:
اگر یک مجموعه باشد آنگاه و و بنابراین یک مجموعه‌ی ناهموار است.
1-2-6- مثال
فرض کنید یک فضای تقریب باشد به طوری که و رابطه‌ی هم‌ارزی به صورت زیر باشد.
اگر I={0.1.2.3.4.6.10.11} باشد آنگاه و .
1-2-7- تعریف [1]
زیر مجموعه X از U تعریف‌پذیر نامیده می‌شود اگر .
1-2-8- مثال
اگر همان فضای تقریب مثال 1-2-6 باشد و باشد آنگاه و بنابراین تعریف‌پذیر است.
1-2-9- توجه
اگر با کلاس هم‌ارزی P و ، آنگاه
1- بدین معنی است که x قطعاً در کلاس P قرار دارد.
2- بدین معنی است که x احتمالاً در کلاس P قرار دارد.
(3) بدین معنی است که x قطعاً در کلاس P قرار ندارد.
1-2-10- تعریف
زمانی که ، گوییم A(C) یک زیر مجموعه‌ی ناهموار از A(B) است.
فرض کنید A(C) و A(B) دو مجموعه‌ی ناهموار باشند ، اگر و تنها اگر و .
1-2-11- تعریف
متمم مجموعه‌ی ناهموار A(C) را با نشان می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می‌شود:
همچنین را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
1-2-12- مثال
اگر کلاس‌های هم‌ارزی به شرح زیر می‌باشد
و آنگاه داریم:

و نیز داریم:
.
تعاریف و مطالب بیشتر را در فصول بعد حتماً مشاهده کنید.
1-3- نظریه مجموعه‌های فازی روی گروه‌ها و حلقه‌ها
1-3-1- تعریف
فرض کنید X یک مجموعه ناتهی باشد. یک زیر مجموعه فازی از X نگاشتی است مانند .
در این صورت را می‌توانیم به عنوان تابعی که به هر عضو درجه‌ای از عضویت را تخصیص می‌دهد، در نظر بگیریم.
1-3-2- تعریف
فرض کنید یک زیر مجموعه‌ی فازی از X باشد،
(1) زیر مجموعه‌ی تراز عبارتست از:
(2) زیر مجموعه‌ی تراز قوی عبارتست از:
(3) برد عبارتست از:
(4) تکیه‌گاه عبارتست از:
1-3-3- تعریف
فرض کنید و دو زیر مجموعه‌ی فازی از X باشند. در این صورت:
(1) گوییم هرگاه برای هر ،
(2) زیر مجموعه‌ی فازی از X است که به صورت تعریف می‌شود.
(3) زیر مجموعه‌ی فازی از X است که به صورت زیر تعریف می‌شود:
(4) زیر مجموعه‌ی فازی از X است که به صورت زیر تعریف می‌شود.
1-3-4- تعریف
فرض کنید G یک گروه باشد. مجموعه فازی روی G یک زیر گروه فازی از G نامیده می‌شود، هرگاه برای همه داشته باشیم:
(1)
(2)
1-3-5- تعریف
فرض کنید R یک حلقه باشد. مجموعه فازی روی R یک زیر حلقه فازی نامیده می‌شود،هرگاه برای همه داشته باشیم:
(1)
(2)
1-3-6- تعریف
فرض کنید R یک حلقه باشد. مجموعه فازی روی R یک ایده‌آل فازی نامیده می‌شود،هرگاه برای همه‌ی داشته باشیم:
(1)
(2)
1-3-7- مثال
فرض کنید I ایده‌آلی از R باشد فرض اعضایی در باشند پس زیرمجموعه فازی یک ایده‌آل فازی است.
1-3-8- تذکر
اگر ایده‌آل فازی از R باشد داریم:
(1) برای هر که 0 عنصر همانی جمعی R است.
(2) برای هر اگر داریم همچنین اگر دو ایده‌‌آل فازی از R باشند، هم هست.
1-4- اشتراک‌های فازی (t- نرم‌ها)
فرض کنیم B,A دو مجموعه‌ی فازی روی مجموعه ناتهی X باشند و i یک عملکرد دوتایی به صورت باشد می‌خواهیم برای اشتراک داشته باشیم
1-4-1- تعریف
تابع را یک t- نرم می‌نامند هرگاه:
(کرانداری)
(یکنوایی) صعودی
(جابه‌جایی)
(شرکت‌پذیری)
بسته به موضوع بحث می‌توان شرایط زیر را نیز برای هر t- نرم در نظر گرفت:
پیوسته باشد.
بطوری که (زیر خودتوانی)
(یکنوایی اکید)
1-4-2- نکته
(1) زیرا حالا فرض .
(2) زیرا اگر1 آنگاه پس
1-4-3- مثال‌هایی از اشتراک‌های فازی
(1) t- نرم استانده: min (a,b) i(a,b) =
(2) t- نرم حاصل‌ضربی: i(a,b)= a.b
(3) t- نرم تفاضل کراندار:
(4) t- نرم دراستیک:
1-4-4- قضیه
تنها t- نرم خود توان، عملگر اشتراک استانده است.
برهان.
از یک طرف برای هر و از طرف دیگر فرض کنیم که t- نرم i در شرط خود توانی صدق کند یعنی برای هر می توانیم بنویسیم
و همچنین بنابراین برای هر .
* در ادامه نشان می‌دهیم که
1-4-5- تعریف
t- نرم i را ارشمیدوسی می‌نامند هرگاه دارای دو شرط باشد.
1-4-6- قضیه
برای هر داریم:
برهان.
(کران بالا) اگر داریم و همین‌طور برای ، بنابراین .
(کران پایین) اگر 1= b آنگاه اگر 1= a آنگاه و حال اگر پس می‌توان نوشت:

نشان می‌دهیم که .
که اگر 1= a آنگاه همچنین b= a.b پس و اگر 1=b آنگاه به طریق مشابه .
1-4-7- تعریف
فرض کنید ، دو t- نرم دلخواه باشند. گوییم ، ضعیف‌تر از یا به عبارت معادل قوی‌تر از است هرگاه I داشته باشیم .
فصل 2
مجموعه‌های T- فازی ناهموار
2-1- مقدمه
در بخش 2-2 ابتدا نرم مثلثی و معروفترین نرمهای مثلثی را معرفی می‌کنیم و مفاهیمی از آن را بیان می‌کیم و رابطه دو تایی فازی و T- مشابه و همچنین فضای تقریب فازی را بیان می‌کنیم و با استفاده از مطالب گفته شده عملکرد تقریب بالا و پایین و برخی از ویژگی‌های آنها را بیان می‌کنیم. و در نهایت زیر گروه‌هایT- فازی را معرفی می‌کنیم.
در بخش 3-2 ما عملگر تقریب بالایی و پایینی را نسبت به یک زیر گروه نرمال T- فازی بیان می‌کنیم و حاصلضرب مجموعه‌های فازی روی یک گروه را معرفی می‌کنیم.
* در این فصل منظور از T، t ـ نرم دلخواه است مگر در موارد خاص که ذکر می‌شود.
2-2- تقریب بالا و پایین از یک مجموعه‌ی فازی
2-2-1- تعریف
طبق آنچه در فصل قبل گفته شد، یک نرم مثلثی یک عملگر به طوری که کراندار و متقارن و شرکت‌پذیر و یکنواست و دارای عضو خنثی 1 است.
2-2-2- تعریف [9]
اگر T یک نرم مثلثی باشد، که و یک مفهوم کاربردی از T نامیده می‌شود.
2-2-3- تذکر [9]
از معروف‌ترین نرم‌های مثلثی پیوسته عبارتند از T=Min و Tm یا ماکسیمم و یا حاصلضرب که بصورت‌های زیر تعریف می‌شود: اگر.
و همچنین مفهوم‌های آنها بصوت زیر است:
و
و
2-2-4- تعریف [9]
فرض کنید A و B به ترتیب زیر مجموعه‌های فازی از G و H باشند، آنگاه ضرب مستقیم A و B که با A×B نشان داده می‌شود، بصورت زیر تعریف می‌شود؛
همچنین اگر X یک مجموعه باشد و یعنی زیر گروه‌های فازی از X باشند، داده بصورت زیر تعریف می‌شود:
2-2-5- توجه
در سرتاسر این فصل T یک نرم مثلثی پیوسته خواهد بود و VT بصورت V ساده خواهد شد.
2-2-6- قضیه[9]
برای هر ، مفهوم V از یک نرم مثلثی پیوسته دارای ویژگی‌های زیر می‌باشد.
(1)
(2) از راست یکنوا است.
(3) از چپ غیریکنوا است.
(4)
(5)
(6) (7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
2-2-7- تعریف [9]
به رابطه‌ی با ضابطه‌ی یک رابطه دوتایی فازی گوییم.
2-2-8- تعریف [9]
فرض کنید X یک مجموعه و T یک نرم مثلثی پیوسته باشد، آنگاه رابطه‌ی دوتایی فازی R را یک رابطه‌ی T- مشابه نامیم هرگاه برای هر، Rدارای ویژگی‌های زیر باشد:
(1)
(2)
(3)
در این صورت (X , R) را یک فضای تقریب فازی گوییم.
2-2-9- تعریف [9]
فرض کنید (X, R) یک فضای تقریب فازی دلخواه باشد. عملگر روی که بصورت
تعریف می‌شود، عملگر تقریب بالا برای از (X,R) نامیده می‌شود. و بطور مشابه عملکرد روی که به صورت تعریف می‌شود، عملگر تقریب پایین برای از (X , R) نامیده می‌شود. و به یک زیرمجموعه‌ Tـ فازی ناهموار گفته می‌شود.
2-2-10- قضیه [9]
اگر و عملگرها تقریب بالا و پایین باشند، برخی از ویژگی های آنها به شرح زیر است.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2-2-11- تعریف [8]
فرض کنید G یک گروه باشد و . اگر A دارای ویژگی‌های زیر باشد به آن زیر گروه T- فازی گوییم.
(1)
(2)
(3)
همچنین اگر علاوه بر ویژگی‌های بالا ویژگی زیر را نیز دارا باشد، به آن زیر گروهT – فازی نرمال گوییم.
(4)
2-2-12- مثال
فرض کنید یک گروه جمعی باشد و T = min باشد و که و A یک زیر گروه فازی از 6Z است.
2-2-13- تعریف [8]
فرض کنید G یک گروه باشد و آنگاه AOB بصورت زیر تعریف می‌شود:
همچنین گاهی اوقات بصورت زیر نیز بیان می‌شود.
2-3- تقریب بالا و پایین از یک مجموعه‌ی فازی نسبت به یک زیر گروه T- فازی نرمال
در این بخش، ما حاصلضرت مجموعه‌های فازی روی گروه را مطالعه می‌کنیم.
2-3-1- قضیه
فرض کنید G یک گروه و B یک زیر گروه T- فازی نرمال از G باشد، آنگاه رابطه‌ی دوتایی RB که بصورت تعریف می‌شود، یک رابطه‌ی T- مشابه روی G است.
برهان.
(1)
(2)
(3)
بنابراین ما می‌توانیم عملگر تقریب بالایی را و عملگر تقریب پایینی را نسبت به B در G مطرح کنیم. پس اگر یک مجموعه فازی باشد یک مجموعه فازی ناهموار است.
برای عملگر تقریب بالای ، در ابتدا لم زیر را مطرح می‌کنیم:
2-3-2- لم
برهان.
2-3-3- لم
اگر B یک زیر گروه T- فازی نرمال از گروه G باشد و ، آنگاه و BoB= B.
برهان.
از تغییر متغیر استفاده کردیم در نتیجه
همچنین:
طرف اول

(شرکت‌پذیری)
(B T – فازی نرمال)=
طرف دیگر
2-3-4- قضیه
فرض کنید B یک زیر گروه T- فازی نرمال از گروه G و آنگاه داریم،
برهان.
چون B نرمال است طبق 2-3-5 داریم بنابراین می‌توانیم بیان کنیم:
2-3-5- مثال
فرض کنید و که B(x) یک زیر گروه Tـ فازی نرمال از گروه هم زیر مجموعه‌های فازی از Zاند، اکنون برای یک نقطه دلخواه از Z، مثلاً 3 نشان می‌دهیم که بالا یعنی .
زیرا:

و بطور مشابه و .
و همچنین زیرا که عبارت مذکور برابر است و در این صورت است. پس تساوی برقرار است.
2-3-6- نتیجه
قضیه بالا نشان می‌دهد که برای دو مجموعه‌ی فازی در یک گروه، حاصلضرب تقریب‌های بالایی آنها برابر تقریب حاصلضرب آنها می‌باشد.
برای تقریب پایینی می‌توان تنها یک طرف قضیه بالا را بیان کرد.
2-3-7- قضیه
فرض کنید B یک زیر گروه T- فازی نرمال از گروه G باشد و آنگاه داریم،
برهان.
طبق تعریف

ویژگی (14)
2-3-8- لم
اگر H و N زیر گروه‌های T- فازی نرمال از G باشند، آنگاه HTN هم یک زیر گروه T- فازی نرمال از G است.
برهان.
(1) (2)
(3)
(4) =
2-3-9- نتیجه
لم بالا نشان‌دهنده‌ی این است که برای دو زیر گروه T- فازی نرمال از G، حاصلضرب آنها نیز زیر گروه T- فازی نرمال از G است.
ما درباره‌ی رابطه بین تقریب‌ها و نسبت آنها به زیر گروه T- فازی نرمال بحث کردیم اینک درباره‌ی تقریب نسبت به حاصلضرب دو زیر گروه T- فازی نرمال بحث می‌کنیم.
2-3-10- قضیه
فرض کنید H و N دو زیر گروه T- فازی نرمال از گروه G باشند و ، اگر آنگاه داریم.
برهان.
2-3-11- قضیه
فرض کنید H و N دو زیر گروه T- فازی نرمال از گروه دلخواه G باشند یعنی یک مجموعه فازی باشد آنگاه داریم .
برهان.

ویژگی (9)
2-3-12- نتیجه
این امر دلالت بر این دارد تقریبهای مجموعه فازی نسبت به حاصلضرب دو زیر گروه T- فازی نرمال، دقیق‌تر از حاصلضرب تقریب‌های مجموعه فازی نسبت به H و N .
فصل 3
زیر گروه‌های T- فازی ناهموار
3-1- مقدمه
بخش 3-2 زیر گروه‌های (نرمال) ناهموار T- فازی بالایی و پایینی از گروهی دلخواه را معرفی می‌کنیم و نشان می‌دهیم گروه فازی ناهموار چهارچوب کلی‌تری نسبت به گروه فازی دارد.
در بخش 3-3 تصویر همریختی از تقریب‌های بالایی یک گروه فازی را مورد بررسی و مطالعه قرار می‌دهیم.
* در این فصل منظور از T، t- نرم دلخواه است مگر موارد خاص که ذکر می‌شود.
3-2- زیر گروه‌های T- فازی ناهموار
3-2-1- تعریف

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

اگر B یک زیر گروه T- فازی نرمال از G باشد و یک زیر مجموعه‌ی فازی از G باشد، یک زیر گروه T- فازی (نرمال) ناهموار بالایی از G نامیده می‌‌شود، هرگاه یک زیر گروه T- فازی (نرمال) از G باشد.
3-2-2- تعریف
اگر B یک زیر گروه T- فازی نرمال از G باشد و یک مجموعه‌ی فازی از G باشد، یک زیر گروه T- فازی (نرمال) ناهموار پایینی از G نامیده می‌شود، هر گاه یک زیر گروه T- فازی(نرمال) از G باشد.
– نشان خواهیم داد که هر گروه T- فازی، یک گروه T- فازی ناهموار می‌باشد، بنابراین گروه فازی ناهموار چهارچوب کلی‌تری نسبت به گروه فازی دارد.
3-2-3- تعریف
یک زیر گروه T- فازی ناهموار است که یک زیر گروه T- فازی ناهموار بالایی و پایینی باشد.
3-2-4- قضیه
فرض کنید B یک زیر گروه T- فازی نرمال از G باشد،همچنین یک زیر گروه T- فازی (نرمال) از G باشد، آنگاه یک زیرگروه T- فازی (نرمال) ناهموار بالایی از G است.
برهان.
از آنجایی که ، داریم:
(1)
(2)

(3)

اینک اگر ، نرمال باشد ، ما داریم:
3-2-5- قضیه
فرض کنید B یک زیر گروه T- فازی نرمال از G باشد، همچنین یک زیر گروه T- فازی (نرمال) از G باشد و اگر ، آنگاه یک زیر گروه T- فازی (نرمال) ناهموار پایینی از G است.
برهان.
از آنجایی که ، ما طبق ویژگی (7) از VT داریم:
و برای هر و برای هر ، ما داریم:
برای هر ما داریم:
ویژگی 14
و اگر نرمال باشد، آنگاه برای هر ، ما داریم:

3-2-6- قضیه
فرض کنید N , H زیر گروه‌های T- فازی نرمال از گروه G باشد و یک زیر گروه T- فازی نرمال از G باشد آنگاه ما داریم.
برهان.
3-2-7- تعریف
فرض کنید B و A دو زیر مجموعه ی فازی دلخواه باشند، آنگاه عبارت بصورت تعریف می‌شود.
3-2-8- قضیه
اگر A و B زیر گروهای T- فازی نرمال از G باشند، هم زیر گروه T- فازی نرمال از G است.
برهان.
(1)
(2)
(3)
(4)
3-2-9- تعریف
اگر A و B زیر گروه‌های T- فازی نرمال از G باشد بطوریکه ، و را بترتیب عملگر تقریب بالایی نسبت به و عملگر تقریب پایینی نسبت به ، می‌نامیم که
3-2-10- قضیه
فرض A و B زیر گروه‌های T- فازی نرمال از G باشند و، آنگاه ما داریم.
برهان.
برای هر ، ما داریم.
و ادامه
ویژگی 14
ویژگی 14
ویژگی 9=
3-2-11- مثال
Z را به عنوان بک گرو جمعی در نظر بگیرید و T = min و و دو زیر گروه فازی نرمال و و دو زیر مجموعه فازی از z باشند اینک نشان می‌دهیم برای یک نقطه دلخواه (1.3) .
قضایای دیگر را نیز می‌توان با این مثال بررسی کرد.
3-3- تصویرهای همریختی گروهی از تقریب بالایی زیر گروه‌های T- فازی
ثابت می‌شود که تقریب بالایی تحت همریختی گروهی پایا است. این امر دلالت بر این دارد که تصویر و تصویر معکوس از گروه T- فازی ناهموار بالایی همچنین گروه‌های T- فازی ناهموار بالایی می‌باشد.
3-3-1- تعریف [8]
فرض کنید f یک همریختی گروهی باشد که و همچنین A یک زیر گروه T- فازی از G باشد، آنگاه
3-3-2- قضیه
فرض کنید یک همریختی گروهی باشد و زیر گروه‌های T- فازی از باشند، آنگاه زیر گروه‌های T- فازی از هستند و اگر نرمال باشند، هم نرمال‌اند.
برهان.
(1)‌
(2)
(3)
(4)
که هم بصورت مشابه است.
3-3-3- قضیه
فرض کنید یک همریختی گروهی باشد و و B زیر گروهای T- فازی از G و B نرمال باشد آنگاه:
برهان.
برای هر ما داریم:
3-3-4- قضیه
فرض کنید یک همریختی گروهی باشد و و زیر گروه‌های T- فازی از باشد، و نرمال باشد، آنگاه
3-3-5- نتیجه
بنابراین تصویر و تصویر معکوس هر زیر گروه ناهموار T- فازی بالایی، زیرگروه ناهموار t- فازی بالایی است.
3-3-6- نتیجه
از روی قضایای 3-3-3 و 3-3-4 می‌توان استدلال کرد که اگر f یک همریختی گروهی از G به باشد آنگاه تصویر و تصویر معکوس هر گروه ناهموار بالایی (پایینی)، گروه ناهموار بالایی (پایینی) است.
3-3-7- تعریف
اگر f یک همریختی از گروه G به باشد و یک زیرگروه T- فازی ناهموار از G باشد آنگاه .
3-3-8- نتیجه
بنابراین تصویر و تصویر معکوس همریختی هر زیرگروه T- فازی نرمال ناهموار یک زیرگروه T- فازی نرمال ناهموار است. چون اگر یک زیرگروه T- فازی ناهموار از G باشد پس و زیرگروه T- فازی نرمال از Gاند پس تصویرشان هم هست.
فصل 4
مجموعه های ناهموار در حلقه ها
4-1- مقدمه
در بخش 4-2 روابط همنهشتی قوی و کامل و مجموعه ناهموار نسبت به این روابط، در بخش 4-3 تقریب‌های مجموعه‌های فازی را بیان می‌کنیم و در بخش 4-4 ایده‌آل‌های ناهموار اول (اولیه) در حلقه‌های جابجایی را بیان می‌کنیم. در بخش 4-5 ایده‌آل‌های فازی اول (اولیه) از یک حلقه جابجایی را بیان می‌کنیم. در بخش 4-6 ایده‌آل‌های فازی اول (اولیه) ناهموار را بیان می‌کنیم. در بخش 4-7 به بیان مجموعه‌های ناهموار فازی پرداختیم.
* در این فصل T، t- نرم دلخواه است و R حلقه جابجایی و یکدار است.
4-2- روابط همنهشتی قوی و کامل و مجموعه‌های ناهموار
در این بخش ما برخی از خواص ایده‌آل‌های اولیه (اول) ناهموار و ایده‌آل‌های فازی اولیه (اول)ناهموار را مورد بررسی قرار می‌دهیم. همچنین در مورد رابطه‌ی بین ایده‌آل‌های اولیه ناهموار بالا و پایین و تقریب بالا و پایین از تصویر همریختی آنها بحث می‌کنیم.
4-2-1- یادآوری
در این بخش R یک حلقه است و یک رابطه‌ی هم ارزی روی R است و نیز برای هر ، کلاس هم‌ارزی تولید شده توسط x بصورت مجموعه تعریف می‌شود[1-2-1].
4-2-2- تعریف
فرض کنید یک رابطه‌ی هم ارزی روی R باشد، آنگاه رابطه‌ی همنهشتی قوی نامیده می‌شود اگر ، و و هم عضوی از باشند. (برای هر ).
4-2-3- نتیجه
فرض کنید یک رابطه‌ی همنهشتی قوی روی R باشد و و آنگاه می‌توان نتیجه گرفت و و (برای هر ).
4-2-4- لم
فرض کنید یک رابطه‌ی همنهشتی قوی روی حلقه‌ی R باشد، اگر باشد آنگاه
(1)
(2)
(3)
برهان.
(1) فرض کنید و بنابراین .
بنابراین و و چون یک رابطه‌ی همنهشتی قوی است بنابراین . و عکس.[8]
(2) از نتیجه‌ی 4-4-3 واضح است.[8]
(3) فرض کنید که و پس و و چون یک رابطه‌ی همنهشتی قوی است پس .
4-2-5- تعریف
فرض کنید یک رابطه‌ی همنهشتی قوی روی حلقه R باشد و ، آنگاه مجموعه‌های زیر را به ترتیب تقریب بالا و پایین از A می‌نامیم.
و .
همچنین یک مجموعه ناهموار نسبت به نامیده می‌شود. و اگر ، A را مجموعه تعریف‌پذیر گوییم.
4-2-6- قضیه
فرض کنید یک رابطه‌ی همنهشتی قوی روی حلقه‌ی R باشد، اگر I ایده‌آلی از R باشد آنگاه هم ایده‌آلی از R است.
برهان.
فرض کنید بنابراین و پس وجود دارد و . اینک چون I ایده‌آل R است پس و برای هر و چون یک رابطه‌ی همنهشتی کامل است پس پس پس .
همچنین چون پس بنابراین و بنابراین پس .
4-2-7- تذکر
قضیه بالا یک شرط کافی است.
4-2-8- مثال
فرض کنید یک رابطه‌ی همنهشتی قوی روی حلقه با کلاس‌های هم‌ارزی زیر
اینک فرض کنید که ایده‌آلی از نیست اما که یک ایده‌آل برای است.
4-2-9- قضیه
فرض کنید یک رابطه‌ی همنهشتی قوی روی R و I ایده‌آلی از R باشد، آنگاه اگر ، آنگاه برابر با I است.
برهان.
فرض پس وجود دارد ، به وضوح است. ما نشان می‌دهیم . فرض، ما داریم:
از آنجایی که I ایده‌آلی از R است داریم .
کافیست نشان دهیم که تا بتوان نتیجه گرفت ، فرض بنابراین پس در نتیجه پس و بنابراین .
* همچنین اگر A یک زیرحلقه از حلقه‌ی R باشد و زیرحلقه ناهموار است.
4-2-10- نتیجه
اگر I یک ایده‌آل از R باشد و آنگاه یک ایده‌آل ناهموار از R است.
4-2-11- تعریف
یک رابطه‌ی همنهشتی قوی، یک رابطه‌ی همنهشتی کامل نامیده می‌شود هرگاه برای هر
4-2-12- مثال
در مثال 4-2-8، یک رابطه همنهشتی قوی است ولی کامل نیست.
4-2-13- قضیه
فرض کنید یک همریختی پوشا از حلقه‌ی به حلقه‌ی و یک رابطه‌ی همنهشتی قوی روی باشد آنگاه .
(1) یک رابطه‌ی همنهشتی قوی روی است.
(2) اگر کامل باشد و هم یک‌به‌یک باشد آنگاه کامل است.
(3)
(4) و اگر باشد آنگاه:

برهان.
(1) فرض و باشد نشان بدهیم که و و . طبق تعریف پس:

بنابراین:
(2) باید نشان بدهیم که . فرض کنید بنابراین طبق تعریف بنابراین
همچنین وجود دارد که:
و و و چون ، است و طبق تعریف ما داریم و و بنابراین و عکس هم طبق لم 3-3-2 ما داریم:
(3) فرض کنید نشان می‌دهیم :
طبق فرض یک وجود دارد که . پس پس حداقل . از اینکه پس و بنابراین طبق تعریف بنابراین بنابراین بنابراین .
طرف دیگر فرض کنید بنابراین وجود دارد که پس پس وجود دارد که و طبق تعریف داریم و چون پس سپس .
(4) (قسمت اول) فرض پس وجود دارد و بنابراین . فرض می‌دانیم که وجود دارد که . بنابراین و بنابراین طبق تعریف بنابراین پس بنابراین پس .
(قسمت دوم): فرض پس حداقل که .
فرض بنابراین طبق تعریف ، بنابراین بنا به 1-1 بودن پس پس پس .
4-2-14- مثال
حلقه 6Z را درنظر بگیرید بطوریکه یک رابطه همنهشتی قوی با کلاسهای و و هم یک رابطه همنهشتی قوی دیگر با کلاس‌های و و و زیرمجموعه‌ای از 6Z باشد. همچنین اگر با ضابطه داده شده باشد شرایط قضیه بالا به راحتی قابل بررسی است.
راهنمایی:
4-3- تقریب‌های مجموعه‌های فازی
با مجموعه‌های فازی در 1-5 آشنا شدیم و گفتم که اگر مجموعه‌های فازی از R
باشند هرگاه و و هم مجموعه‌های فازی
از R اند که و
همچنین در [2-2-12] را تعریف کردیم.
4-3-1- تعریف
فرض یک رابطه‌ی همنهشتی قوی روی و یک زیرمجموعه فازی از باشد، آنگاه مجموعه‌های فازی و بصورت‌های زیر تعریف می‌شوند.
که به ترتیب تقریب بالایی و پایینی از مجموعه فازی نامیده می‌شود. و مجموعه فازی ناهموار نسبت به نامیده می‌شود و هرگاه آنگاه را تعریف‌پذیر گوییم.
4-3-2- یادآوری
مانند آنچه در 3-2 بیان کردیم می‌توانیم بگوییم زیر مجموعه فازی از R یک ایده‌آل فازی ناهموار بالایی نامیده می‌شود هرگاه یک ایده‌آل فازی از R باشد.
4-3-3- قضیه
فرض یک رابطه‌ی همنهشتی قوی روی R باشد. اگر یک ایده‌آل فازی از R باشد، و هم ایده‌آل فازی از R است.
برهان.

بنابراین و بطور مشابه بنابراین یک ایده‌آل فازی هست. و بطور مشابه برای .
4-3-4- مثال
فرض R اعداد حقیقی و به‌عنوان ایده‌آلی از آن باشد و رابطه همنهشتی با کلاس‌های
باشد، اینک مشخص است که ، می‌تواند اعضایی از [1 و] باشند یک ایده‌آل فازی ناهموار از R است. می‌توان به راحتی درستی قضیه 4-3-3 را آزمایش کرد.
راهنمایی:
4-3-5- تذکر
اگر یک ایده‌آل فازی از R باشد یک ایده‌آل فازی ناهموار از R است.
همچنین اگر و ایده‌آل‌های فازی از R باشد هم ایده‌آل فازی ناهموار از R است.
4-3-6- قضیه
فرض کنید یک رابطه‌ی همنهشتی قوی روی R باشد. اگر یک زیرمجموعه فازی از R باشد و آنگاه داریم:
(1)
(2)
برهان.
(1) فرض

(2) فرض

دسته بندی : پایان نامه ها

پاسخ دهید